Re: [閒聊] 大學數學真有人能憑直覺拿滿分嗎

: 舉一個簡單的例子 sec x的積分 : 現在的人可能覺得這個蠻標準的 但這個問題在十七世紀卻是灸手可熱的難題 : 有幾個數學家都猜出了答案但都沒法把證明寫下來 : 連牛頓也知道這問題 不知道他有沒有嘗試證明就是 : 到了1668這問題才由巴洛用部分分式的方法解出來 : 很明顯 這種問題不是光知道代入法就能解出來的 : 但是如果你有上課學到t=tan(x/2)這秘技的話 要積sec x就很簡單了～ 倒是不一定要用Weierstrass Substitution，雖然這個方法很強大 以下是不用Weierstrass，也不用一般微積分課本用湊的驗證出來的作法: ∫sec(x) dx = ∫1/cos(x) dx =∫cos(x)/cos^2(x) dx =∫cos(x)/(1-sin^2(x)) dx =∫1/(1-u^2) du (u = sin(x)) =∫[1/(1-u) + 1/(1+u)]/2 du = (-ln| 1-u | + ln| 1+u | )/2 + C = 1/2 ln|(1+u)/(1-u)| + C = 1/2 ln|(1+sin(x))/(1-sin(x))| + C = 1/2 ln|(1+sin(x))^2/(1-sin^2(x))| + C = 1/2 ln|(1+sin(x))^2/cos^2(x)| + C = 1/2 ln(|(1+sin(x))/cos(x)|)^2 + C = ln(|(1+sin(x))/cos(x)|) + C = ln|1/cos(x) + sin(x)/cos(x)| + C = ln|sec(x) + tan(x)| + C 這裡只用了三角函數常見代換法的處理方式 + 部分分式 --
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推 Vulpix: 推這個作法。不過我猜這應該就是1668那年的招式吧。 03/08 05:11

推 Vulpix: 不過最偷懶的作法是：分子分母同乘「sec(x) + tan(x)」。 03/08 05:14